Modulbeschreibung

Komplexe Zahlen ist ein Konzept, welches zur mathematischen Allgemeinbildung gehört, und in ganz vielen verschiedenen Kontexten auftritt. Speziell ist es für Ingenieure wichtig, dass Schwingungen mithilfe komplexer Exponentialfunktionen effizient beschrieben werden können.

Differentialgleichungen sind mathematische Beschreibungen realer Systeme, und stehen damit am Ursprung vieler natur- und ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen. Die Studierenden sollen befähigt werden, einfache technische Problemstellungen in der Sprache der Differentialgleichungen zu modellieren und zu lösen.

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Vorlesung: 21
Übungen: 7
Selbststudium: 32
Total: 60

Erlaubte Hilfsmittel: Integraltafel aus der Papula-Formelsammlung und 4 A4-Seiten selber erstellte Forlmelsammlung

Fachkompetenzen:

Die Teilnehmenden können:

• Komplexe Zahlen in der kartesischen sowie der Exponentialform darstellen, in die jeweils andere Form umrechnen und damit elementare Rechenoperationen ausführen.
• Einfache komplexwertige Gleichungen lösen.
• Differentialgleichungen in Kategorien einteilen (Ordnung, Linearität, Autonomie) und kennen die jeweils zugehörigen Lösungsmethoden.
• Die charakteristische Gleichung für eine homogene lineare DGL 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ausrechnen, und die Lösungen der charakteristischen Gleichung klassifizieren (reell einfach, reell mehrfach, konjugiert-komplex).
• Störfunktionen bei inhomogenen linearen DGL 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in Kategorien einteilen (Konstante, Polynome, Schwingungen) und den jeweils zugehörigen Lösungsansatz für die partikuläre Lösung aufschreiben, inkl. Spezialfälle (Resonanzen).

Methodenkompetenzen:
Die Teilnehmenden können:

• Reelle Schwingungen mithilfe komplexwertiger Funktionen ausdrücken.
• Die Separation der Variablen bei DGL 1. Ordnung ausführen.
• Den Lösungsalgorithmus für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf neue Aufgaben anwenden.
• Die Lösungen von Differentialgleichungen interpretieren (Anfangswertprobleme, Langzeitverhalten).

Selbstkompetenzen:
Die Teilnehmenden können:

• Akzeptieren, dass Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind.
• Verstehen, dass mithilfe der komplexen Zahlen in den Ingenieursdisziplinen reelle Probleme gelöst werden.
• Modelle von realen Systemen in die Sprache der Differentialgleichungen überführen.

Sozialkompetenzen:
Die Teilnehmenden können:

• Die Sprache der Differentialgleichungen benutzen, um sich verändernde Systeme zu beschreiben.

Teil 1: Komplexe Zahlen

Lernblock: Komplexe Zahlen, kartesische Form

• Einführung, Definition von j, Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen, Darstellung in der Gauss’schen Zahlenebene,Rechenoperationen in kartesischer Form
• Betrag einer komplexen Zahl, Konjugiert-komplexe Zahlen, Lösen von Gleichungen

Lernblock: Komplexe Zahlen, Exponentialform

• Formel von Euler, Trigonometrische Form, Exponentialform
• Umrechnungen, Rechenoperationen in Exponentialform: Multiplikation und Division, graphische Bedeutung
• Rechenoperationen in Exponentialform, Lösungen der Gleichung z^n=c

Lernblock: Komplexwertige Schwingungen

• Reellwertige Schwingungen, Repetition
• Komplexwertige Schwingungen: Definition, Veranschaulichung, Umrechnungen
• Addition von Schwingungen mit derselben Frequenz, Anwendung: Impedanzen in Wechselstromkreisen

Teil 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen (8 Wochen)

Lernblock: Einführung, Separation der Variablen

• Einführung: Freier Fall, DGL, welche nur von der Zeit abhängen, allgemeine und spezielle Lösungen
• Definitionen: Gewöhnliche DGL, Schreibweise der Ableitungen, Eigenschaften von DGL (Ordnung, autonome DGL, lineare DGL)
• Separation der Variablen

Lernblock: Lineare DGL mit konstanten Koeff. 1. Ordnung

• Die DGL x‘=ax, Anwendung: Radioaktiver Zerfall
• Die DGL x‘=ax+b, x‘=ax+sin(wt), Anwendung: Tiefpassfilter, RC-Schwingkreis

Lernblock: Lineare homogene DGL mit konstanten Koeff. 2. Ordnung

• Charakteristische Gleichung, Fundamentalsystem, allgemeine Lösung
• Lösungen der charakteristischen Gleichung: Reell, verschieden; Reell, zweifach; Konjugiert-komplex
• Anwendung: Gedämpfte Schwingungen

Lernblock: Lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeff. 2. Ordnung

• Methode: Ansatz für die partikuläre Lösung
• Verschiedene Störfunktionen: Konstante, Schwingung
• Anwendung: Resonanzen 

Pflichtliteratur wie Skript, Bücher:

• Skript zur Vorlesung

Weiterführende Literatur:

• Klaus Weltner: Mathematik für Physiker und Ingenieure, Band 1+2
• L. Göllmann et al: Mathematik für Ingenieure, Band 2